Ciao Giulia!
Scusa se ti rispondo con un po' di ritardo.
Io, come scritto nel mio profilo, ho un piccolo B&B in Via della Vigna Nuova che si trova proprio in centro storico (davanti a Palazzo Rucellai) da cui raggiungi il duomo e gli uffizi a piedi in meno di 5 minuti massimo. Questo il link

https://www.airbnb.it/rooms/3189371

il prezzo per questo periodo è 50 euro a persona con la colazione.

Se non dovessi avere posto o cercassi qualcosa di diverso considera che Firenze è davvero molto piccola, o almeno il centro storico, per cui restando tra il ponte vespucci e il ponte S. Niccolò al massimo devi fare 20/25 minuti a piedi per arrivare al duomo (Ad. es. da piazza ferrucci che è all'altezza di Ponte S. Niccolò).
Le mie zone preferite sono sicuramente la zona di S. Niccolò (Via S. Niccolò, piazza Poggi, Via dei Bardi etc) e la Zona di S. Spirito e S. frediano (Via di S. Spirito, Piazza S. Spirito, Borgo S. frediano etc) che sono diladdarno (ovvero a sud dell'arno) e sono più fiorentine e meno turistiche ma basta attraversare un ponte e ti trovi nelle zone turistiche.
Le zone che eviterei sono la zona della stazione (e soprattutto Via Nazionale) e quella di S. Lorenzo.
Ad ogni modo se trovi qualche B&B che ti interessa (a meno che tu non voglia essere mia ospite!) mandami il link e ti posso dare un parere sulla zona.
Spero di esserti stata d'aiuto.
Buon viaggio
Ilaria